题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
含两个绝对值的方程，第一步不是两边平方，而是找零点切段。|x−2| 的零点是 2，|x+1| 的零点是 −1，于是数轴被切成 x<−1、−1≤x<2、x≥2 三段；每段里两个绝对值各自定号，去掉符号后就是一元一次方程。
去完号解出的根，必须回代检查它是否落在「本段所设的区间」里——这是分段讨论最容易漏的一步。另外，把左边看成 f(x)=|x−2|+|x+1|，它在中段恒等于两个零点之间的距离 3，也就是最小值。
二、逐题精讲
题1
题1 解方程 |x−2| + |x+1| = 5，并验根。
解析
第一段 x<−1：|x−2|=2−x，|x+1|=−x−1，方程化为 (2−x)+(−x−1)=1−2x=5，得 x=-2。验：-2<−1 成立，且 |-2−2|+|-2+1| = 4+1 = 5，是解。
第二段 −1≤x<2：|x−2|=2−x，|x+1|=x+1，左边 = (2−x)+(x+1) = 3，方程变成 3=5，无解。这一段恰恰是「恒等于常数」的区间，不需要再解。
第三段 x≥2：|x−2|=x−2，|x+1|=x+1，方程化为 (x−2)+(x+1)=2x−1=5，得 x=3。验：3≥2 成立，且 |3−2|+|3+1| = 1+4 = 5，是解。
回代核验：f(-2) = 5 = 5，f(3) = 5 = 5，f(0) = 3 = 3；中段恒值正好是最小值，所以 5>3 时恰有两个解，与结果一致。
答案 x = -2 或 x = 3；两解均在各自分段区间内且回代成立
采分点 三段划分 2 分；三段各自去绝对值 3 分；两个解各 1 分；回代验区间 2 分
易错点 解出 x=-2 后不验它是否小于 −1；中段 3=5 硬解出一个根
题2
题2 设 f(x)=|x−2|+|x+1|，求 f(x) 的最小值；并给出方程 f(x)=a 有解时 a 的条件。若 a=3，有几个解？
解析
由题1 的分段结果：x<−1 时 f=1−2x 随 x 增大而减小；−1≤x<2 时 f=3 恒定；x≥2 时 f=2x−1 随 x 增大而增大。故最小值就是中段恒值 3，取到最小值的 x 有无穷多个（整段 [−1,2) 加上端点 2）。
因此 f(x)=a 有解当且仅当 a≥3。a<3 无解；a=3 有无穷多解；a>3 恰有两个解（左右各一）。本题 a=3 = 3，属于「恰在最小值」的边界情形，解集是 [−1,2]，不是两个数。
回代核验：f(−1)=|−3|+0=3，f(2)=0+3=3，端点都取到；若误答「两个解」，是把 a>3 的结论套到了 a=3 上。边界情形必须单独判。
答案 最小值 3；f(x)=a 有解当且仅当 a≥3；a=3 时解集为 [−1,2]，无穷多解
采分点 分段单调性 2 分；最小值 3 1 分；有解条件 a≥3 2 分；a=3 的边界解集 2 分；端点回代 1 分
易错点 把 a=3 当成「两解」；漏掉中段整段取到最小值这一事实
三、规律小结与对照表
| 区间 | 去掉绝对值后 | 方程/结论 | 验根 |
|---|---|---|---|
| x<−1 | 1−2x | x=-2 | -2<−1 成立 |
| −1≤x<2 | 3 恒定 | 3=5 无解 | 无需解 |
| x≥2 | 2x−1 | x=3 | 3≥2 成立 |
| 有解条件 | a≥3 | a=3 时整段 | 边界单判 |
小结：零点切段 → 每段去号 → 解出必验区间 → 再看恒值段给最小值与有解条件。本题两解 -2、3，最小值 3，a=3 时解集是一整段而不是两个点。题面与数值均为自编示意。
四、自测清单
- 能用两个零点把数轴切成三段
- 能在每段正确去绝对值符号
- 能把解回代验是否落在本段区间
- 能由中段恒值得到最小值
- 能写出 a≥3 的有解条件
- 能单独处理 a=3 时解集为整段的边界情形
