联招数学·隔板法：正整数解、非负整数解与「每人至少两个」

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

把 n 个相同小球分给 k 个不同对象，求「每人至少一个」的方案数，标准做法是隔板法：n 个球排成一列，中间 n−1 个空隙里插 k−1 块板，得 C(n−1, k−1)。

两个变体最容易混：允许有人得 0 个时，先给每人「借」一个球凑成 n+k 个再按正整数解算，得 C(n+k−1, k−1)；若要求每人至少 m 个，先给每人预发 m−1 个（把下界降回 1），再套正整数解公式。下面以 n=10、k=3 的自编题面逐一代回。

二、逐题精讲

题1

题1　求方程 x1+x2+x3=10 的正整数解个数与非负整数解个数。

解析

正整数解：xi≥1，10 个球中间 9 个空隙插 2 块板，C(9,2) = 36。

非负整数解：xi≥0。令 yi = xi+1 ≥ 1，则 y1+y2+y3 = 13，正整数解 C(12,2) = 66。等价写法是「10 个球加 3 个借来的球共 13 个，插 2 块板」。

两者之差 66 − 36 = 30，正是「至少有一个变量为 0」的解数——不是别的东西，别把它解释成公式误差。回代核验：C(9,2)=36、C(12,2)=66，且 36+30 = 66 闭合。

答案　正整数解 36 个；非负整数解 66 个；含零解 30 个

采分点　正整数解公式 2 分；非负整数解借球变换 3 分；两个组合数值各 1 分；差值含义 1 分；回代 1 分

易错点　非负解直接套 C(9,2)；把 30 说成「取位差」或公式错

题2

题2　把 10 个相同小球分给 3 人，每人至少 2 个，有多少种分法？并说明为什么不能直接用 C(9,2)。

解析

先每人预发 1 个（把「至少 2」降成「至少 1」），共发掉 3 个，剩 7 个按正整数解分：C(6,2) = 15。等价地令 yi = xi − 2 ≥ 0，则 y1+y2+y3 = 10 − 6 = 4，非负整数解 C(4+3−1, 3−1) = C(6,2) = 15，两条路径同值。

不能直接用 C(9,2)：C(9,2)=36 只保证每人至少 1 个，里面混进了「某人恰好 1 个」的分法，不满足至少 2 个。先扣下界是必须的一步。

回代核验：15 = 15；且 15 < 36 < 66，三档限制由紧到松、计数由小到大，顺序自洽。若算出「至少 2 个」比「至少 1 个」还多，一定是漏了预分配。

答案　15 种；先各预发 1 个剩 7 个按正整数解，或令 yi=xi−2 得 C(6,2)

采分点　预分配思路 2 分；C(6,2)=15 2 分；两条路径互验 2 分；说明不能直接用 C(9,2) 2 分；三档大小顺序 1 分

易错点　直接套 C(9,2)；预发 2 个而不是 1 个导致剩 4 个算错

三、规律小结与对照表

小结：板数永远是 k−1，变的是「球数」——先按 xi≥1 还是 xi≥0 扣/借，再代入。本例三档得 36、66、15，含零解 30 个。题面数值均为自编示意。

四、自测清单

• 能用 C(n−1,k−1) 算正整数解
• 能用 yi=xi+1 算非负整数解
• 能用预分配或 yi=xi−2 处理下界
• 知道板数由 k−1 决定
• 能解释 30 是含零解数
• 能验证三档计数大小顺序