联招数学·均值链与柯西不等式：等号成立条件要单独验

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

不等式求最值有两步：先用不等式把界找出来，再单独验等号能不能取到。界找到了但等号条件与题设冲突，那个值就不是最值，只是上界或下界。

本篇两题：a、b>0 且 a+b=1 求 1/a+1/b 最小；x²+y²=1 求 3x+4y 最大。界与等号点都按公式现算。

二、逐题精讲

题1

题1　设 a>0、b>0、a+b=1，求 1/a+1/b 的最小值并验等号条件。

解析

柯西：(a+b)(1/a+1/b) ≥ (√(a·1/a) + √(b·1/b))² = (1+1)² = 4。因 a+b=1，故 1/a+1/b ≥ 4。

均值链同路：1/a+1/b ≥ 4/(a+b) = 4。

等号条件：a·(1/a) 项与 b·(1/b) 项成比例，即 a=b；结合 a+b=1 得 a=b=0.5。代回 1/0.5+1/0.5 = 4，等号确实取到，4 是最小值不是仅仅下界。

答案　最小值 4，等号在 a=b=0.5 时取到

采分点　柯西列式 2 分；界 1 分；等号条件 2 分；代回验证 2 分

易错点　只报 4 不验等号；把等号条件写成 a=1,b=0（不在定义域）；漏 a,b>0 前提

题2

题2　设 x²+y²=1，求 3x+4y 的最大值并验等号条件。

解析

柯西：(3²+4²)(x²+y²) ≥ (3x+4y)²，即 25×1 ≥ (3x+4y)²，故 3x+4y ≤ 5（取正侧）。

等号条件：(x,y) 与 (3,4) 成比例且同向，x/3 = y/4 = 1/5，得 x=0.6、y=0.8。

回代核验：x²+y² = 0.6²+0.8² = 1.0，满足约束；3x+4y = 5.0 = 5，等号取到，闭合。若取反向 (−0.6,−0.8) 得 −5，是最小值不是最大值。

答案　最大值 5，等号在 x=0.6、y=0.8 时取到

采分点　柯西列式 2 分；界 1 分；等号比例 2 分；约束与取值双回代 2 分

易错点　把 −5 当成最大值；等号比例写成 x/y=3/4 却不带归一化；漏验 x²+y²=1

三、规律小结与对照表

小结：界靠不等式，最值靠等号条件。两题分别得 4 与 5，等号点 a=b=0.5、(x,y)=(0.6,0.8) 都代回验过，不是只报一个上界下界。

四、自测清单

• 能用柯西写出 (a+b)(1/a+1/b)≥4
• 能验 a=b=0.5 等号条件
• 能用柯西写出 (9+16)(x²+y²)≥(3x+4y)²
• 能由比例求等号点
• 能代回约束与取值双验
• 能说明条件冲突时只是界不是最值