联招数学·复数模的最值：把圆看成 |z−z₀|=r

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

复数条件 |z−z₀|=r 在复平面上就是一个圆：圆心 z₀、半径 r。|z| 是点到原点的距离，最大最小一定落在原点与圆心的连线上，分别是 |z₀|+r 与 |z₀|−r（前提是原点在圆外）。

本篇取 z₀=3+4i、r=1，所有最值与乘积模均按公式现算，不用背结论。

二、逐题精讲

题1

题1　设复数 z 满足 |z−(3+4i)| = 1。求 |z| 的最大值与最小值，并说明取到最值时 z 在哪里。

解析

圆心 z₀=3+4i，|z₀| = √(3²+4²) = 5，半径 r=1，原点在圆外（5 > 1）。

|z|max = 5+1 = 6，|z|min = 5−1 = 4。

取最值点在原点与圆心连线上：最大点 z = z₀ + (r/|z₀|)z₀ = (1+1/5)(3+4i) = 3.6+4.8i，其模 √(3.6²+4.8²) = 6；最小点 (1−1/5)(3+4i) = 2.4+3.2i，模 4。两路回代与几何结论一致。

答案　|z|max=6（点 3.6+4.8i），|z|min=4（点 2.4+3.2i）

采分点　圆心与 |z₀| 2 分；最值公式 2 分；取点坐标 2 分；双路回代 1 分

易错点　把 |z₀| 算成 3+4=7；最值写成 |z₀|±2r；忘记原点在圆外这一前提

题2

题2　设 z₁=1+i、z₂=2−i。用两种方法求 |z₁z₂| 并互验。

解析

法一（模的乘法）：|z₁|=√2，|z₂|=√5，故 |z₁z₂| = √2·√5 = √10 = 3.1623。

法二（先乘再取模）：z₁z₂ = (1+i)(2−i) = 2 − i + 2i − i² = 3 + i，|3+i| = √(3²+1²) = √10 = 3.1623。

回代核验：两法同为 3.1623；若把 (1+i)(2−i) 误展成 1+3i，会得到 √10 之外的 3.1623，与法一不符即可报警——这正是双路互验的价值。

答案　|z₁z₂| = √10 = 3.1623，两法一致

采分点　模乘法 2 分；展开式 2 分；两法互验 2 分；错误展开报警 1 分

易错点　把 −i² 算成 −1；把 |z₁z₂| 写成 |z₁|+|z₂|；两法结果不比对

三、规律小结与对照表

小结：圆上点到原点的距离沿连心线取极值。|z₀|=5、r=1，得 4 与 6；|z₁z₂| 两法同为 3.1623，闭合。

四、自测清单

• 能说出 |z−z₀|=r 的几何意义
• 能算圆心到原点的距离
• 能沿连心线求 |z| 最大最小
• 能说明原点在圆外的前提
• 能用模乘法求 |z₁z₂|
• 能先乘再取模做双路互验