联招数学·「至少／恰好」与分组分配：先定有序无序

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

分组分配第一问永远是「组有没有编号」。没有编号（只是分成三堆）要除以组数的阶乘；有编号（分到三个不同任务）不除。「至少」则多用补集，比逐类相加稳。

本篇两题：6 人均分 3 组；以及 5 男 3 女中选 3 人的恰好与至少。所有组合数按公式现算。

二、逐题精讲

题1

题1　把 6 人平均分成 3 组、每组 2 人：(1) 组无编号；(2) 组有编号（分到三项不同任务）。分别求方法数。

解析

(1) 先按有序取：C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) = 15×6×1 = 90。三组无编号，彼此交换不算新分法，除以 3! = 6，得 15 种。

(2) 组有编号时不再除 3!，直接 90 种。

回代核验：90/15 = 6 = 3!，两者只差一个组编排序；若把 90 当成无序分组，就多算 6 倍。

答案　无序 15 种；有序 90 种

采分点　有序取法 2 分；除 3! 说明 2 分；两结果 2 分；倍数回代 1 分

易错点　无序分组忘除 3!；把 C(2,2) 漏掉；把「均分」当成任意分

题2

题2　从 5 男 3 女中选 3 人：(1) 恰好 1 女；(2) 至少 1 女。分别求方法数，并说明为什么 (2) 用补集。

解析

(1) 恰好 1 女：C(3,1)×C(5,2) = 3×10 = 30 种。

(2) 至少 1 女：总数 C(8,3) = 56，减去全男 C(5,3) = 10，得 46 种。

用补集是因为「至少 1 女」包含 1 女、2 女、3 女三类，直接加要算三项且容易漏；补集一步到位。回代核验：逐类算 C(3,1)C(5,2)+C(3,2)C(5,1)+C(3,3)C(5,0) = 30+15+1 = 46，与补集一致，闭合。

答案　恰好 1 女 30 种；至少 1 女 46 种（补集法）

采分点　恰好 2 分；总数 1 分；补集 2 分；逐类回代 2 分

易错点　「至少」逐类相加漏类；把 C(8,3) 写成 P(8,3)；补集减数写成 C(3,3)

三、规律小结与对照表

小结：先问组有没有编号，再问要不要补集。无序 15、有序 90、恰好 30、至少 46，逐类回代与补集一致。

四、自测清单

• 能判断分组是否有编号
• 能算无序均分并说明除 3!
• 能算有序分配
• 能用直接法算恰好
• 能用补集算至少
• 能用逐类相加回代补集结果