题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
两类求和长得不像，方法也不能互换：通项是分式且分母能拆成相邻两因式之积，用裂项相消；通项是「等差 × 等比」，用错位相减。选错方法不是算得慢，是根本消不掉。
本篇两题分别取 n=9 的裂项与 n=5 的差比数列，结果均按公式现算并与逐项展开互验。
二、逐题精讲
题1
题1 求 S = 1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(9*(9+1))，即前 9 项和。
解析
拆项：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。
展开后中间全部抵消：S = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/9 − 1/(9+1)) = 1 − 1/(9+1) = 9/(9+1) = 0.9。
回代核验：逐项数值 0.5+0.166667+0.083333+0.05+0.033333+0.023810+0.017857+0.013889+0.011111 = 0.9，与 0.9 一致。
答案 S = 9/(9+1) = 0.9
采分点 拆项式 2 分；相消过程 2 分；结果 1 分；逐项回代 2 分
易错点 把 1/(k(k+1)) 拆成 1/k + 1/(k+1)；相消后漏掉末项
题2
题2 求 T = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + 4×2⁴ + 5×2⁵，并给出 n 项一般式。
解析
设 T = Σ(k·2^k)，k=1..5。两边乘公比 2：2T = Σ(k·2^(k+1))。
相减：2T − T = −2 − 2² − 2³ − 2⁴ − 2⁵ + 5·2⁶ = −(2⁶−2) + 5·2⁶ = 4·2⁶ + 2 = 258。
一般式：T(n) = Σ(k·2^k) = (n−1)·2^(n+1) + 2。代入 n=5 得 (5−1)·2⁶+2 = 258。
回代核验：逐项 2+8+24+64+160 = 258，与闭式 258 相等，闭合。
答案 T = 258；一般式 T(n) = (n−1)·2^(n+1) + 2
采分点 乘公比错位 2 分；相减推导 2 分；一般式 2 分；逐项回代 1 分
易错点 相减时把首项符号写反；一般式写成 n·2^(n+1)+2；漏掉末尾补的 +2
三、规律小结与对照表
| 通项形状 | 方法 | 闭式 | 回代 |
|---|---|---|---|
| 分式可拆 | 裂项相消 | n/(n+1) | 逐项求和 |
| 等差×等比 | 错位相减 | (n−1)2^(n+1)+2 | 逐项求和 |
| 中间项 | 全部抵消 | 只剩首末 | — |
| 公比乘后 | 末项进位 | 补 +2 | — |
小结：分式看能不能拆成相邻两项之差，差比看能不能乘公比错位。裂项得 0.9，错位得 258，两式都经逐项展开验过。
四、自测清单
- 能写出 1/(k(k+1)) 的拆项式
- 能说明中间项为何全消
- 能对差比数列乘公比后错位相减
- 能写出一般式 (n−1)2^(n+1)+2
- 能用逐项展开回代两个结果
- 能说明两类方法不可互换
