题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
角平分线定理说的是分边成比例：BD/DC = c/b，所以 BD = a·c/(b+c)、DC = a·b/(b+c)。但「BD 有多长」不等于「角平分线 AD 有多长」——后者要用 l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c)，或等价的斯图尔特形式 l_a² = bc[1−(a/(b+c))²]。
自编示意三角形：b=6.0、c=8.0、a=7.0。参数均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 求 cos A、cos(A/2)、两段分边与角平分线长。
解析
cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (36+64−49)/96 = 0.53125。半角余弦 cos(A/2) = √((1+cos A)/2) = √0.765625 = 0.8750（正好 7/8）。
分边：BD = a·c/(b+c) = 7×8/14 = 4.0，DC = a·b/(b+c) = 7×6/14 = 3.0，BD:DC = 4:3 = c:b，且 BD+DC = 7.0 = a 闭合。
角平分线长 l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2×6×8×0.875/14 = 6.0000。斯图尔特复核：√(bc[1−(a/(b+c))²]) = √(48×0.75) = 6.0000，两式一致。
答案 cosA=0.53125；cos(A/2)=0.8750；BD=4.0、DC=3.0；l_a=6.0000
采分点 余弦定理 2 分；半角公式 2 分；分边比例 2 分；角平分线长 2 分；斯图尔特复核 1 分
易错点 把 BD 当角平分线长；把 cos(A/2) 写成 cosA/2
题2
题2 同三角形的中线 m_a 是多少？把它当角平分线会差多少？
解析
中线 m_a = ½√(2b²+2c²−a²) = ½√(72+128−49) = √151/2 = 6.1441，比角平分线 6.0000 长 0.1441，相对差 2.3%。
两条线只在 b=c 时重合（等腰三角形顶角的平分线同时也是中线）。本题 b≠c，分边 4:3 不是 1:1，正是两线不重合的直接证据：中线落到 a 的中点（3.5 处），角平分线落到 BD=4 处。
回代核验：6.0000² = 36.00 与 bc[1−(a/(b+c))²] = 36.00 闭合；6.1441² = 37.75 = (2b²+2c²−a²)/4 = 37.75 闭合。
答案 m_a=6.1441；比角平分线长 0.1441（2.3%）；仅 b=c 时两线重合
采分点 中线公式 2 分；两线差 2 分；分边位置证据 2 分；两处平方回代 2 分；等腰特例 1 分
易错点 把 cos(A/2) 写成 sin(A/2)；用中线代角平分线
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| cos A | (b²+c²−a²)/(2bc) | 0.53125 | 自编示意 |
| cos(A/2) | √((1+cosA)/2) | 0.8750 | = 7/8 |
| 分边 BD | a·c/(b+c) | 4.0 | BD:DC=4:3 |
| 角平分线 l_a | 2bc·cos(A/2)/(b+c) | 6.0000 | 斯图尔特闭合 |
| 中线 m_a | ½√(2b²+2c²−a²) | 6.1441 | 不可互换 |
小结：分边成比例用角平分线定理，求线段长用半角余弦或斯图尔特式。本例 l_a=6.0000、m_a=6.1441，差 2.3%；BD:DC=4:3 说明两线不重合。参数均为自编示意。
四、自测清单
- 能用角平分线定理求两段分边
- 能用半角余弦求角平分线长
- 会用斯图尔特形式复核
- 能求中线并比较两线长度
- 能用分边位置说明两线不重合
- 能回代两线平方值
