题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
解三角形给两边及夹角，第一件事是把第三边算出来，再谈外接圆。题面自编示意：a=8.00、b=6.00、C=120.0°，数值为自拟示意，不代表真实测量。
由余弦定理 c² = a²+b²−2ab cos C = 64+36−2·48·cos 120° = 100+48 = 148，故 c = 12.1655。再由正弦定理 2R = c/sin C，得 R = 7.0238，直径 2R = 14.0475。
二、逐题精讲
题1
题1 求 c、外接圆半径 R 与三角形面积 S，并用两种面积公式互验。
解析
cos 120° = -0.5，所以 c² = 100 - 2·48·(-0.5) = 148，c = 12.1655。sin 120° = √3/2 = 0.8660254，故 R = c/(2 sin C) = 12.1655/1.7320508 = 7.0238。面积一路：S = ½ab sin C = 0.5·48·0.8660254 = 20.7846。另一路：S = abc/(4R) = 8.00·6.00·12.1655/(4·7.0238) = 20.7846。两路在四位取位内一致，说明 c、R、S 三者闭合。若两路不等，优先回头查 c 的余弦符号。
答案 c = 12.1655；R = 7.0238；S = 20.7846（两路一致）。
采分点 余弦定理带符号 1 分、c 值 1 分、R 值 1 分、两路面积各 1 分、闭合说明 1 分。
易错点 把 cos 120° 写成 +0.5 会得到 c=√52=7.2111，后面全错。
题2
题2 若把 C 误读成 60.0°，其余条件不变，求误读下的 c′、R′，并说明「面积不变」为什么不能用来发现这个错误。
解析
误读后 c′² = 100 − 2·48·0.5 = 52，c′ = 7.2111；R′ = c′/(2 sin 60°) = 7.2111/1.7320508 = 4.1633。面积 S′ = ½·48·sin 60° = 20.7846，与正确值完全相同——因为 sin 120° = sin 60°。所以只核对面积会漏掉角度误读。真正能检出的是 c 与 R：R 从 7.0238 降到 4.1633，差 2.8604，相对偏小 40.73%。结论：含 cos 的量（第三边、外接圆半径）才是角度取错的报警量。
答案 c′ = 7.2111；R′ = 4.1633；R 偏小 40.72%；面积不变，不能用作校验量。
采分点 误读 c′ 1 分、R′ 1 分、sin 相等说明 1 分、报警量结论 1 分。
易错点 看到面积一样就判定「两种读法等价」是最常见的漏检。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 正确值（C=120°） | 误读值（C=60°） |
|---|---|---|---|
| c | √(a²+b²−2ab cos C) | 12.1655 | 7.2111 |
| R | c/(2 sin C) | 7.0238 | 4.1633 |
| 2R | c/sin C | 14.0476 | 8.3267 |
| S | ½ab sin C | 20.7846 | 20.7846 |
| abc/(4R) | 另一路面积 | 20.7846 | 20.7846 |
小结：sin 相等的两角会让面积与正弦定理的比值都「看起来对」，必须靠带 cos 的 c 与由 c 反推的 R 交叉报警。
四、自测清单
- 能带符号用余弦定理求第三边
- 能用正弦定理求外接圆半径
- 能用 abc/(4R) 互验面积
- 能识别 sin 相等造成的漏检
- 能说明报警量应选含 cos 的量
- 能按取位口径报一致而非写死等号
