联招数学·构造函数证不等式：eˣ ≥ 1+x 与 ln(1+x) ≤ x

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

证明 f(x) ≥ h(x)，先把差写成一个函数 g(x) = f(x) − h(x)，再证 g 的最小值不小于零。直接两边取对数、或代入几个数就说「成立」，都不算证明。

自编示意取 x = 0.500 与 x = -1.000 两处回代；数值按函数式现算，仅作示意核对，不代表某种近似公式的普适误差。

二、逐题精讲

题1

题1　证明 eˣ ≥ 1+x（x ≥ 0），并在 x = 0.500 与 x = -1.000 两处回代。

解析

令 g(x) = eˣ − 1 − x，则 g′(x) = eˣ − 1。x ≥ 0 时 eˣ ≥ 1，故 g′(x) ≥ 0，g 在 [0, +∞) 单调不减；又 g(0) = 0，所以 g(x) ≥ 0，即 eˣ ≥ 1+x，等号只在 x = 0 取到。数值核对：x = 0.500 时 e⁰·⁵ = 1.648721，1+x = 1.5，差 0.148721；x = -1.000 时 e⁻¹ = 0.367879，1+x = 0，差 0.367879。注意不等式条件写的是 x ≥ 0，x = -1.000 处差仍为正只是该函数本身的性质，不能拿来把结论扩大到全实数；e = 2.71828 供回代核对。

答案　g′(x)=eˣ−1 ≥ 0 且 g(0)=0，故 eˣ ≥ 1+x；x=0.500 余项 0.148721，x=-1.000 差 0.367879。

采分点　构造函数 1 分、导数与单调性 1 分、g(0) 1 分、两点回代各 1 分、条件边界 1 分。

易错点　把 x=-1 处也成立当成「条件可放宽到全实数」，是结论外推。

题2

题2　求二阶项 x²/2 在 x = 0.500 的值，并与实际余项比较；再求 ln(1+x) ≤ x 的放缩差与相对误差。

解析

二阶项 = 0.500²/2 = 0.125，实际余项 0.148721 > 0.125，说明 eˣ 的泰勒展开还有三阶及更高项，不能把余项写成「恰好等于 x²/2」。另一路：令 h(x) = x − ln(1+x)，h′(x) = x/(1+x) ≥ 0（x ≥ 0）、h(0)=0，故 ln(1+x) ≤ x。x = 0.500 时 ln1.5 = 0.405465，放缩差 = 0.500 − 0.405465 = 0.094535，相对 x 为 18.907%。两式的余项都来自同一个「一阶近似」，但数值不同，不能互相代用。

答案　二阶项 0.125 < 余项 0.148721；ln1.5=0.405465，放缩差 0.094535，相对 18.907%。

采分点　二阶项 1 分、比较结论 1 分、h(x) 构造 1 分、放缩差 1 分、相对误差 1 分、不可代用说明 1 分。

易错点　把 0.148721 与 0.094535 混成「同一个余项」，是两个函数搞串了。

三、规律小结与对照表

小结：证明靠 g 的单调性与端点值；余项回代说明一阶近似漏了高阶项，不能写成等号。

四、自测清单

• 能构造 g(x) 并求导
• 能用单调性与端点值完成证明
• 能回代 eˣ 的余项与二阶项
• 能构造 h(x)=x−ln(1+x)
• 能算 ln 的放缩差与相对误差
• 能识别结论外推与余项混用