题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
两端固定的弦，基频满足 f₁ = (1/2L)√(T/μ)，反解就是 μ = T/(2Lf₁)²。分母里的 2L 来自「基频时弦长等于半个波长」，漏掉 2 等于把半波长当成全波长。
自编示意：L = 0.8000 m，T = 25.00 N，实测基频 f₁ = 50.00 Hz；弦与读数均为自编示意，不代表真实器件记录。
二、逐题精讲
题1
题1 求线密度 μ 与三次谐波频率，并说明 2L 的来源。
解析
2Lf₁ = 2×0.8000×50.00 = 80.0，(2Lf₁)² = 6400。μ = T/(2Lf₁)² = 25.00/6400 = 3.90625×10⁻³ kg/m。三次谐波 f₃ = 3f₁ = 150.0 Hz。2L 的来源是基频时 L = λ/2，故 λ = 2L，波速 v = λf₁ = 2Lf₁，再由 v = √(T/μ) 得同一式。核对：√(25.00/(3.90625×10⁻³)) = 80.0 m/s，与 2Lf₁ = 80.0 闭合。
答案 μ = 3.90625×10⁻³ kg/m；f₃ = 150.0 Hz。
采分点 公式 1 分、2L 来源 1 分、μ 值 1 分、f₃ 1 分、波速闭合 1 分。
易错点 把 L 直接当波长，μ 会偏大 4 倍。
题2
题2 若把三次谐波误当基频，或漏乘公式里的 2，μ 分别会变成多少？
解析
误用 f₃：(2Lf₃)² = 57600，μ′ = 25.00/57600 = 4.3403×10⁻⁴ kg/m，相对正确值偏小 88.89%——频率放大 3 倍，μ 缩小到 1/9。漏乘 2：μ″ = 25.00/(Lf₁)² = 25.00/1600 = 0.015625 kg/m，是正确值的 4 倍，偏大 300.0%。两个偏差方向相反、量级也不同，说明它们来自不同环节：前者是谐波级次认错，后者是波长关系写错。正文按两条分别登记，不合并成一个「修正系数」。
答案 误用 f₃：4.3403×10⁻⁴ kg/m，偏小 88.89%；漏乘 2：0.015625 kg/m，偏大 300.0%。
采分点 两种误算各 1 分、两个偏差 1 分、方向辨析 1 分、不合并说明 1 分。
易错点 把 1/9 与 4 倍直接相乘当「综合修正」，会把两个不同环节混成一个。
三、规律小结与对照表
| 情形 | 代入频率 | 分母 | μ/(kg·m⁻¹) |
|---|---|---|---|
| 正确基频 | 50.00 Hz | (2Lf₁)²=6400 | 3.90625×10⁻³ |
| 误用三次谐波 | 150.0 Hz | (2Lf₃)²=57600 | 4.3403×10⁻⁴ |
| 漏乘 2 | 50.00 Hz | (Lf₁)²=1600 | 0.015625 |
| 波速核对 | — | 2Lf₁=80.0 m/s | √(T/μ)=80.0 |
| 偏差方向 | — | — | 一偏小、一偏大，分别登记 |
小结：2L 来自半波长；谐波级次与波长关系是两个独立环节，偏差分开登记。
四、自测清单
- 能写出基频与线密度关系
- 能说明 2L 的来源
- 能由波速闭合回代 μ
- 能求三次谐波频率
- 能回代两种误算的偏差
- 能说明两偏差不合并
