题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
角平分线定理给的是分点比，不是长度：BD/DC = AB/AC。知道分点后，角平分线长可以用 AD² = AB·AC − BD·DC 直接算，也可以代 Stewart 定理 b²·BD + c²·DC = a(AD² + BD·DC) 反解，两路应完全一致。
自编示意：AB = 6.00，AC = 8.00，BC = 10.00，恰为直角三角形（∠A = 90°）。三边为自拟示意数值，不代表真实测量。
二、逐题精讲
题1
题1 求 BD、DC 与角平分线 AD 的长，并用 Stewart 定理互验。
解析
由角平分线定理 BD:DC = AB:AC = 6:8 = 3:4，故 BD = 10.00×3/7 = 4.2857，DC = 10.00×4/7 = 5.7143，两者相加 10.0000 = BC 闭合。第一路：AD² = AB·AC − BD·DC = 48.0000 − 24.4898 = 23.5102，AD = 4.8487。第二路 Stewart：b²·BD + c²·DC = 64.00×4.2857 + 36.00×5.7143 = 480.0000；右端 a(AD² + BD·DC) = 10.00×(23.5102 + 24.4898) = 480.0000，两端相等，AD² 反解仍 23.5102。两路闭合。
答案 BD = 4.2857，DC = 5.7143，AD = 4.8487（AD² = 23.5102）；Stewart 两路一致。
采分点 分点比 1 分、BD 1 分、DC 1 分、AD² 公式 1 分、AD 值 1 分、Stewart 互验 1 分。
易错点 把 BD:DC 写成 AC:AB，分点会落到另一侧。
题2
题2 若把比例反取成 4:3，BD′、DC′ 与 AD 各是多少？说明为什么 AD 不能当报警量。
解析
反取后 BD′ = 10.00×4/7 = 5.7143，DC′ = 10.00×3/7 = 4.2857，与正确值恰好互换。乘积 BD′·DC′ = 24.4898，与正确的 24.4898 相同，因此 AD² = bc − 乘积 仍是 23.5102、AD 仍是 4.8487。原因是 AD² 只依赖「两段的乘积」，而乘积在互换下不变；反取比例只是把 D 挪到关于 BC 中点的对称位置。所以核对时若只看 AD 长度会漏检，必须回到 BD:DC = AB:AC 的定比关系、或直接验 BD+DC 与 BD/DC 两个量。若把 AD 也随比例改动，等于用错误分点反推长度，属循环论证。
答案 BD′ = 5.7143，DC′ = 4.2857，AD 仍 4.8487；报警量应为分点比与两段位置。
采分点 反取后两段各 1 分、乘积不变 1 分、AD 不变 1 分、互换对称性说明 1 分、报警量归属 1 分。
易错点 看到 AD 一致就判定「两种分点等价」，是最常见的漏检。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 正确（3:4） | 反取（4:3） |
|---|---|---|---|
| BD | BC·AB/(AB+AC) | 4.2857 | 5.7143 |
| DC | BC·AC/(AB+AC) | 5.7143 | 4.2857 |
| BD·DC | 两段相乘 | 24.4898 | 24.4898 |
| AD² | AB·AC − BD·DC | 23.5102 | 23.5102 |
| 报警量 | 分点比 BD/DC | 0.7500 | 1.3333 |
小结：分点比由邻边定，长度由两段乘积定；互换两段不改变乘积也不改变 AD，故必须拿分点比回代，不能只核长度。
四、自测清单
- 能按邻边比写出 BD:DC
- 能求两段的数值并闭合到 BC
- 能用 AD² = bc − BD·DC 求角平分线长
- 能用 Stewart 定理反解互验
- 能解释反取比例后 AD 不变的原因
- 能指出分点比才是报警量
