题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
有放回时每次抽取独立，用二项分布；无放回时各次不独立，用超几何分布。两者期望相同，方差差一个有限总体修正系数。 本讲用一组自编示意总体数，把两个概率、两个方差与修正系数串成一条链。二、逐题精讲
题1
自编示意 10 件产品中有 3 件次品，从中抽 4 件。分别按有放回（二项）与无放回（超几何）求恰好 2 件次品的概率与期望。解析
有放回：每次抽到次品概率 p=3/10=0.3，X~B(4,0.3)，P(X=2)=C(4,2)×0.3²×0.7²=6×0.09×0.49=0.2646。 无放回：P(X=2)=C(3,2)C(7,2)/C(10,4)=3×21/210=63/210=0.3。两者期望都是 E(X)=4×0.3=1.2，因为期望只依赖单次边际概率。答案 二项 0.2646，超几何 0.3；期望均为 1.2。
采分点 两个概率各 3 分；期望 2 分；组合数展开 2 分。
易错点 把超几何分母写成 C(10,2) 会得完全不同的值；把 p 写成 4/10 是把抽样数当次品率。
题2
求两种分布的方差与有限总体修正系数，并说明方差为何不同。解析
二项方差 D₁=np(1−p)=4×0.3×0.7=0.84；超几何方差 D₂=np(1−p)×(N−n)/(N−1)=0.84×6/9=0.56。 有限总体修正系数 (N−n)/(N−1)=(10−4)/(10−1)=6/9=0.666667。无放回使各次抽取负相关，极端结果变少，方差被压低；期望不变、方差变小，正是两种模型的分界。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：二项概率（有放回时恰好 2 件次品）= 0.2646；超几何概率（无放回时恰好 2 件次品）= 0.3；期望（两种模型共同的期望）= 1.2；二项方差（np 乘 1−p）= 0.84；超几何方差（二项方差乘有限总体修正）= 0.56；有限总体修正（总体数减抽样数除总体数减一）= 0.666667答案 D₁=0.84，D₂=0.56，修正系数 0.666667。
采分点 两个方差各 3 分；修正系数 2 分；负相关解释 2 分。
易错点 把修正系数写成 (N−n)/N=0.6 会得 0.504；把「期望相同」说成「分布相同」是概念错误。
三、规律小结与对照表
| 量 | 二项（有放回） | 超几何（无放回） | 数值 |
|---|---|---|---|
| P(X=2) | C(4,2)p²(1−p)² | C(3,2)C(7,2)/C(10,4) | 0.2646 / 0.3 |
| E(X) | np | n·K/N | 1.2 |
| D(X) | np(1−p) | np(1−p)(N−n)/(N−1) | 0.84 / 0.56 |
| 修正系数 | 1 | (N−n)/(N−1) | 0.666667 |
| 抽取独立性 | 独立 | 负相关 | — |
两种抽样模型期望相同、方差不同，差别全在有限总体修正系数；组合数分母要按「从总体取 n 件」写。本讲总体数与抽样数均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- p 是否按 3/10 取值
- 二项概率是否用组合数
- 超几何分母是否为 C(10,4)
- 两者期望是否同为 1.2
- 二项方差是否为 np(1−p)
- 修正系数是否为 (N−n)/(N−1)
- 是否说明负相关导致方差变小
- 是否避免把期望相同当分布相同
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：二项概率 = 0.2646；超几何概率 = 0.3；期望 = 1.2；二项方差 = 0.84；超几何方差 = 0.56；有限总体修正 = 0.666667。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理二项与超几何的概率、期望与方差对比；条件概率与独立性、贝叶斯两阶段、K² 列联表与几何概型另属相邻板块，不在此重复出同一抽样模型。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
