题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
由 S_n 求 a_n 必须分两段：n = 1 时 a_1 = S_1，n ≥ 2 时 a_n = S_n − S_(n−1)。 两段求出的式子若在 n = 1 处一致才能合并写成一个通项，否则要分段写。二、逐题精讲
题1
自编示意数列的前 n 项和为 S_n = n² + 2n（n 为正整数）。求 a_1、a_n 与 a_5，并说明通项能否写成一个式子。解析
先算首项：S_1 = 1 + 2 = 3，故 a_1 = 3。 n ≥ 2 时 a_n = S_n − S_(n−1) = (n²+2n) − ((n−1)² + 2(n−1)) = 2n + 1。 把 n = 1 代入 2n+1 也得 3，与 a_1 一致，因此本例可合并写成 a_n = 2n+1。a_5 = 2×5+1 = 11。答案 a_1 = 3；a_n = 2n+1；a_5 = 11；本例可合并写成一个通项。
采分点 首项单独求 2 分；差分展开 3 分；首项一致性检验 2 分；合并结论 1 分；第五项 2 分。
易错点 直接把 n = 1 代入差分式而不验 S_1，遇到 S_0 不为零的题就会错；本题 S_0 = 0 才恰好一致。
题2
用 S_5 − S_4 与 2×5+1 两条独立路径重算 a_5，并说明 S_0 的取值在本题中为何不影响结论。解析
路径一：S_5 = 25 + 10 = 35，S_4 = 16 + 8 = 24，故 a_5 = 35 − 24 = 11。 路径二：a_5 = 2×5+1 = 11。两路相同。又 S_0 = 0，把差分式形式上延到 n = 1 得 a_1 = S_1 − S_0 = 3，与首项一致；若 S_0 不为零，就必须分段写通项。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：第五项（通项在 n=5 处的值）= 11；差分路径（由 S_5 与 S_4 之差得 a_5）= 11；前五项和（S_5 按给定和式计算）= 35；前四项和（S_4 按给定和式计算）= 24；首项（S_1 与通项在 n=1 处一致）= 3；公差（相邻两项之差）= 2答案 两路均为 11；S_0 = 0 使本例通项可合并，但首项仍须单独验。
采分点 两条路径各 3 分；S_0 的作用 2 分；分段写法条件 2 分。
易错点 把 S_0 默认成 0 而不说明，或把 35 − 24 算成 12，都会破坏闭合。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| S_5 | 25+10 | 5×(5+2) | 35 |
| S_4 | 16+8 | 4×(4+2) | 24 |
| a_5 | S_5−S_4 | 2×5+1 | 11 |
| a_1 | S_1 | 2×1+1 | 3 |
| 通项 | 差分展开 | 首项代入检验 | 2n+1 |
由和求项先分两段再验首项；本例两路回代一致。式中系数与项数均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 首项是否单独由 S_1 求出
- 差分式是否只用于 n ≥ 2
- 首项代入通项是否一致
- S_0 是否为零是否写明
- 两路 a_5 是否相等
- 通项合并条件是否说明
- 是否避免把差分式直接用于 n = 1
- 结果是否代回 S_5 闭合
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：第五项 = 11；差分路径 = 11；前五项和 = 35；前四项和 = 24；首项 = 3；公差 = 2。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理由二次型和反解等差型通项；递推数列求通项、裂项与错位相减、等差数列变号项另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
