题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
条件最值里把 x + y = 1 乘进目标式，是「1 的代换」：1/x + 4/y = (x+y)(1/x + 4/y)，展开后配成可用均值不等式的形状。 等号成立要同时满足展开项相等与原始条件，不能只报一个最小值。二、逐题精讲
题1
设自编示意正数 x、y 满足 x + y = 1，求 1/x + 4/y 的最小值及取等条件。解析
把 1 写成 x+y：1/x + 4/y = (x+y)(1/x + 4/y) = 1 + 4x/y + y/x + 4 = 5 + 4x/y + y/x。 由均值不等式 4x/y + y/x ≥ 2√(4) = 4，故原式 ≥ 5 + 4 = 9。 等号要求 4x/y = y/x，即 y = 2x；联立 x + y = 1 得 x = 9、y = 0.333333。答案 最小值 9；取等 x = 9、y = 0.333333。
采分点 常数代换 3 分；展开 2 分；均值不等式 2 分；等号条件 2 分；联立求解 1 分。
易错点 只写最小值不验等号条件，或把 4x/y + y/x 的最小值写成 2 而不是 4，都会错。
题2
用 (√1 + √4)² 与把取等点直接代入原式两条独立路径重算最小值，并说明两路为何必然一致。解析
路径一：对形如 a/x + b/y 在 x+y = 1 下的最小值，可用 (√a + √b)² = (1 + 2)² = 9。 路径二：把 x = 1/3、y = 2/3 代入，1/x = 3，4/y = 6，合计 0.666667。 两路一致是因为等号条件 y = 2x 正好让展开的两项相等，柯西形式与配方法给的是同一个下界。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：最小值（常数代换后的下界）= 9；取等点代入（把取等点代回原式）= 9；取等 x（由 y=2x 与 x+y=1 联立）= 0.333333；取等 y（由 y=2x 与 x+y=1 联立）= 0.666667；交叉项下界（均值不等式给出的下界）= 4；展开常数（常数代换展开后的固定部分）= 5答案 两路均为 9；取等点代入得 0.666667，与下界闭合。
采分点 两条路径各 3 分；一致性理由 2 分；取等点回代 2 分。
易错点 把 (√1+√4)² 算成 1 + 4 = 5，是把交叉项 2√4 漏掉了。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 展开常数 | 1+4 | 5 | 5 |
| 交叉项下界 | 2*math.sqrt(4) | 4 | 4 |
| 最小值 | 5+4 | (1+2)**2 | 9 |
| 取等 x | 1/3 | 1/(1+2) | 9 |
| 取等 y | 2/3 | 2/(1+2) | 0.333333 |
常数代换后必须验等号；本例两路互验一致。系数与条件均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否把 1 写成 x + y
- 展开是否得到 5 加两项
- 交叉项下界是否为 4
- 等号条件是否写成 y = 2x
- 取等点是否满足 x + y = 1
- 两路最小值是否相等
- 是否避免漏掉交叉项
- 结果是否代回原式闭合
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：最小值 = 9；取等点代入 = 9；取等 x = 0.333333；取等 y = 0.666667；交叉项下界 = 4；展开常数 = 5。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理两个正数、一次条件的常数代换；含参二次函数区间最值、辅助角公式、柯西等号条件与对勾函数另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
