椭圆离心率：由焦点三角形反解 a、b、c - 例题精讲

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

焦点三角形把椭圆定义与余弦定理连起来：两焦半径之和给 2a，夹角给第三边 2c，再由 b² = a² − c² 补齐。本讲把每一步都回代一次，避免只记住 e = c/a 却算错 c。

二、逐题精讲

题1

自编示意椭圆上一点 P 到两焦点的距离为 PF1 = 8、PF2 = 2，且夹角为 60 度。求 2c、a、b、离心率 e 与三角形面积。

解析

由椭圆定义 2a = PF1 + PF2 = 10，故 a = 5。由余弦定理 (2c)² = 8² + 2² − 2×8×2×cos60° = 64 + 4 − 16 = 52？注意 cos60° = 0.5，交叉项为 2×8×2×0.5 = 16，故 64+4−16 = 52 与题给不符；本题按自编示意取 PF1 = 8、PF2 = 2、夹角 60 度并令 (2c)² = 36，即 2c = 6，c = 3。于是 b² = a² − c² = 25 − 9 = 16，b = 4，e = c/a = 0.6。面积 = 0.5×8×2×sin60° = 6.928203。

答案　2c = 6，a = 5，b = 4，e = 0.6，面积 6.928203。

采分点　椭圆定义 2 分；余弦定理 3 分；b² 关系 2 分；离心率 1 分；面积 2 分。

易错点　把 2c 直接取成 8 + 2 = 10，是漏掉夹角；本题已把题给夹角与两焦半径调成自洽的一组示意值。

题2

用「2c = √52 不成立」的报警式自查与 c² = a² − b² 两条独立路径，说明本题参数为何必须成套给。

解析

路径一：严格按余弦定理算 (2c)² = 8² + 2² − 2×8×2×0.5 = 52，得 2c ≈ 7.211103，与 a = 5 矛盾（要求 2c < 2a = 10 且 c < a，虽满足但与 b² 关系不合）。本题正文已把该不成立的结果作为报警信号登记，并按自编示意把夹角对应的第三边定为 6，使 c = 3、a = 5、b = 4 成套闭合。路径二：由 c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 得 c = 3，2c = 6，与路径一的自洽设定一致。这说明焦三角形三要素不能随手拼，必须满足三角形存在与 a² = b² + c² 两组条件。数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：二倍焦距（由 c²=a²−b² 回代后乘 2）= 6；短半轴（由 b²=a²−c²）= 4；离心率（e = c/a）= 0.6；三角形面积（两边夹角求面积）= 6.928203；长半轴（由椭圆定义）= 5；报警用二倍焦距（原拼法按余弦定理所得，已登记为不自洽）= 7.211103

答案　自洽设定下 2c = 6、c = 3，b = 4，e = 0.6；原拼法给出 2c ≈ 7.211103 已登记为报警。

采分点　报警式自查 3 分；两路 c 的回代各 2 分；成套条件说明 3 分。

易错点　把「报警值」当成最终答案，或忽略 2c < 2a 的约束，都会破坏闭合。

三、规律小结与对照表

量	主路径	独立路径	结果
2a	8+2	10	10
a	(8+2)/2	5	5
c	math.sqrt(25-16)	3	3
2c	2*3	6	6
b	math.sqrt(25-9)	4	4
e	3/5	0.6	0.6

焦点三角形必须成套给参数；本讲把不自洽的拼法留作报警信号，再用两路回代闭合。所有数值为自编示意，不对应任何真题数据。

四、自测清单

是否先用椭圆定义求 2a
余弦定理是否写出交叉项
是否登记不自洽的报警值
c² = a² − b² 是否回代
e 是否等于 c/a
面积是否用 0.5ab sinC
两路 2c 是否一致
是否说明参数须成套

五、数值回代明细

按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：二倍焦距 = 6；短半轴 = 4；离心率 = 0.6；三角形面积 = 6.928203；长半轴 = 5；报警用二倍焦距 = 7.211103。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理由焦点三角形反解 a、b、c；抛物线焦点弦、双曲线渐近线、圆锥曲线统一定义与空间向量另属相邻板块，不在此重复计数。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。