题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
设切点横坐标为 t，切线方程既要过切点又要过定点，两条件联立才能定 t。 本讲把「先写切线再代定点」与「直接用两点斜率」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意曲线 y = x³ − 3x² + 4x，求过原点 O(0,0) 的切线切点横坐标 t 与切线斜率 k。解析
设切点 (t, t³−3t²+4t)，导数 y′ = 3x²−6x+4，故 k = 3t²−6t+4。 切线过原点要求 (t³−3t²+4t)/t = k（t 不为 0），即 t²−3t+4 = 3t²−6t+4，化简得 2t²−3t = 0，故 t = 1.5（舍 t = 0 的退化情形另议）。 代回得 k = 1.75。答案 t = 1.5；k = 1.75；切线 y = 1.75x。
采分点 设切点 2 分；导数 2 分；过原点条件 3 分；解方程与验根 3 分。
易错点 把「过原点」当成「在原点处相切」，会把 t 直接取 0 而漏掉真正的切点。
题2
用「切线方程代定点」与「两点斜率等于导数」两条独立路径重算 t，并说明 t = 0 为何要单列。解析
路径一：由切线 y − f(t) = f′(t)(x − t) 代 (0,0) 得 f(t) = t f′(t)，化简得 2t²−3t = 0，非零根 t = 1.5。 路径二：两点斜率 f(t)/t 应等于 f′(t)，即 1.75 = 1.75 在 t = 1.5 处成立。 t = 0 时曲线本身过原点，此时是「在原点处的切线」而非「过原点的另一条切线」，两种问法要分开；系数均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：切点横坐标（解 2t²−3t=0 的非零根）= 1.5；切线斜率（导数与两点斜率两路）= 1.75；两点斜率（曲线点除横坐标）= 1.75；函数值（f(t) 与 t 乘斜率）= 2.625；原点处导数（曲线在原点处的切线斜率）= 4；判别式（方程 2t²−3t=0 的判别式）= 9答案 两路均得 t = 1.5、k = 1.75；t = 0 为曲线自身过点情形。
采分点 两条路径各 3 分；退化根说明 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把 f(t)/t 写成 f′(t)/t，或漏掉 t = 0 的单独讨论，都会漏解。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 切点横坐标 | 解 2t²−3t=0 | 由 f(t)=t f′(t) 反解 | 1.5 |
| 切线斜率 | 3t²−6t+4 在 t 处 | f(t)/t 在 t 处 | 1.75 |
| 两点斜率 | f(t)/t | t²−3t+4 | 1.75 |
| 导数表达式 | 3t²−6t+4 | 对 x³−3x²+4x 求导 | 3t²−6t+4 |
| 原点处导数 | y′(0) | 4 | 4 |
切线过定点先设切点 t，再让两路闭合；系数均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否设切点而非直接代原点
- 导数是否正确
- 过定点条件是否为 f(t)=t f′(t)
- 两路 t 是否相等
- 是否讨论 t=0 退化根
- 斜率是否代回导数
- 是否避免把过点与在点混淆
- 是否注明示意系数
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：切点横坐标 = 1.5；切线斜率 = 1.75；两点斜率 = 1.75；函数值 = 2.625；原点处导数 = 4；判别式 = 9。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三次函数的切线过定点；隐零点、极值点偏移、构造函数余项与含参二次函数区间最值另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
