题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
1/(k(k+1)) 可裂为 1/k − 1/(k+1)，相加后中间项全消，只剩首末两项。 本讲把「裂项精确和」与「逐项累加」两条路径回代，并给出放缩上界。二、逐题精讲
题1
自编示意：对 k = 1 至 8 求 Σ 1/(k(k+1)) 的精确值，并给出用 1/k² 放缩时的一个上界。解析
裂项：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)，故 S = 1 − 1/9 = 0.888889。 逐项累加校验：0.888889，与裂项结果相同。 若用 1/(k(k+1)) < 1/k² 放缩，前 8 项上界为 Σ1/k² ≈ 1.527422，比精确值大 0.638533。答案 精确和 0.888889；逐项累加 0.888889；放缩上界约 1.527422。
采分点 裂项变形 3 分；相消求和 3 分；逐项校验 2 分；上界与差值 2 分。
易错点 把 1/(k(k+1)) 错裂成 1/k − 1/(k+2)，中间项消不干净。
题2
用「裂项相消」与「逐项累加」两条独立路径重算 S，并说明放缩上界为何必然偏大。解析
路径一：1 − 1/9 = 0.888889。 路径二：逐项相加得 0.888889，与路径一相同。 放缩把每项换成更大的 1/k²，故上界 1.527422 必大于精确值；差值 0.638533 即为放缩引入的余量，逐项回代可验证每一项都放大了；项数为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：精确和（裂项与逐项累加）= 0.888889；逐项累加和（逐项相加）= 0.888889；放缩上界（平方倒数之和）= 1.527422；放缩余量（上界减精确和）= 0.638533；两路核验（两路互验）= 0.888889；末项（相消后留下的末项）= 0.111111答案 两路均为 0.888889；上界 1.527422，余量 0.638533。
采分点 两条路径各 3 分；放缩单调性 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把上界当成精确和，或把 1/k² 写成 1/(k+1)²，都会改错方向。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 精确和 | 1−1/9 | 逐项累加 | 0.888889 |
| 逐项累加和 | 逐项加 8 项 | 1−1/9 | 0.888889 |
| 放缩上界 | Σ1/k² | 逐项平方倒数相加 | 1.527422 |
| 放缩余量 | 上界减精确和 | 逐项放大量之和 | 0.638533 |
| 两路核验 | 逐项累加结果 | 裂项结果 | 0.888889 |
| 末项 | 1/9 | 1/(8+1) | 0.111111 |
裂项先写清相消结构，再让两路闭合；项数与放缩方式均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 裂项是否为 1/k 减 1/(k+1)
- 相消后是否只剩首末两项
- 两路和是否相等
- 放缩是否逐项变大
- 余量是否为正
- 是否避免把上界当精确值
- 结果是否代回第 8 项闭合
- 是否注明示意项数
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：精确和 = 0.888889；逐项累加和 = 0.888889；放缩上界 = 1.527422；放缩余量 = 0.638533；两路核验 = 0.888889；末项 = 0.111111。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理相邻整数乘积的裂项与放缩；由前 n 项和反解通项、错位相减、递推数列求通项与等比数列 q 分类另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
