题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
两复数相乘，模相乘、辐角相加；若和超出 (−π, π]，要减去 2π 化到主值。 本讲把「先代数展开再取辐角」与「直接模辐角相乘」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意：z₁ = 1 + i，z₂ = √3 + i。求 z₁z₂ 的代数形式、模与辐角主值。解析
z₁ 模 1.414214、辐角 45 度；z₂ 模 2、辐角 30 度。 乘积模 = 1.414214×2 = 2.828427，辐角和 = 45+30 = 75 度。 代数展开：z₁z₂ = (1+i)(√3+i) = (√3−1) + (1+√3)i，与三角形式一致。答案 模 2.828427；辐角主值 75 度；代数形式 (√3−1)+(1+√3)i。
采分点 两复数模与辐角 4 分；乘积规则 3 分；主值化归 3 分。
易错点 把辐角相加后忘记化到主值区间，或把模也相加，都会错。
题2
用「辐角相加」与「由代数形式反解反正切」两条独立路径重算辐角，并说明为何本题无需减 2π。解析
路径一：45 + 30 = 75 度。 路径二：由 (√3−1)+(1+√3)i 得 tanθ = (1+√3)/(√3−1) = 3.732051，θ = arctan(3.732051) = 75 度，与路径一相同。 两角之和 45 + 30 = 75 度，落在主值区间内，故不需减 360 度；复数均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：z一模（由 1+i 求模）= 1.414214；z一辐角度（由实部虚部求辐角）= 45；z二模（由 √3+i 求模）= 2；z二辐角度（由虚部比实部求辐角）= 30；乘积模（模相乘与代数形式取模）= 2.828427；辐角主值（相加与反正切两路）= 75；正切值（代数形式与正切回代）= 3.732051答案 两路均为 75 度；正切值 3.732051。
采分点 两条路径各 3 分；主值区间理由 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把 z₂ 的辐角写成 60 度（把 √3 当成实部对应角），会得 105 度。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| z₁ 模 | √(1+1) | math.hypot(1,1) | 1.414214 |
| z₁ 辐角 | arctan(1/1) 取度 | 45 | 45 |
| z₂ 模 | √(3+1) | 2 | 2 |
| z₂ 辐角 | arctan(1/√3) 取度 | 30 | 30 |
| 乘积模 | 模相乘 | 代数形式取模 | 2.828427 |
| 辐角主值 | 两角相加 | 反正切回代 | 75 |
复数乘法先定模与辐角，再让两路闭合；复数均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否先求两复数的模
- 辐角是否取度
- 乘积是否为模乘辐角加
- 两路辐角是否相等
- 是否检查主值区间
- 代数展开是否回代一致
- 是否避免把模相加
- 是否注明示意复数
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：z一模 = 1.414214；z一辐角度 = 45；z二模 = 2；z二辐角度 = 30；乘积模 = 2.828427；辐角主值 = 75；正切值 = 3.732051。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理两复数乘积的辐角主值；复数模最值、虚根成对、极化恒等式与阿波罗尼斯圆另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
