题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
E(X) = Σxᵢpᵢ，D(X) = E(X²) − [E(X)]²，也可用 Σ(xᵢ−E)²pᵢ 直接算。 本讲把「二阶矩减均值平方」与「离差平方加权」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意分布列：X 取 0、1、2、3，对应概率 0.10、0.20、0.30、0.40。求 E(X)、E(X²) 与 D(X)。解析
E(X) = 0×0.10+1×0.20+2×0.30+3×0.40 = 2。 E(X²) = 0×0.10+1×0.20+4×0.30+9×0.40 = 5。 D(X) = 5 − 2² = 1。答案 E(X) = 2；E(X²) = 5；D(X) = 1。
采分点 概率和 2 分；期望 2 分；二阶矩 2 分；方差 4 分。
易错点 把 E(X²) 写成 [E(X)]²，方差会算成 0；概率不归一也会破坏结果。
题2
用「二阶矩减均值平方」与「离差平方加权」两条独立路径重算 D(X)，并说明两式为何恒等。解析
路径一：5 − 2² = 1。 路径二：Σ(xᵢ−2)²pᵢ = 0.10×4 + 0.20×1 + 0.30×0 + 0.40×1 = 1，与路径一相同。 两式恒等是因为 Σ(xᵢ−μ)²pᵢ 展开后交叉项为 −2μΣxᵢpᵢ + μ²Σpᵢ = −μ²；概率均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：期望（按分布列求期望）= 2；二阶矩（按平方乘概率）= 5；方差（两路方差）= 1；零值离差平方（x=0 的离差平方）= 4；壹值离差平方（x=1 的离差平方）= 1；贰值离差平方（x=2 的离差平方）= 0；叁值离差平方（x=3 的离差平方）= 1答案 两路均为 1；离差平方项之和亦为 1。
采分点 两条路径各 3 分；恒等变形 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把 μ²Σpᵢ 漏掉，或把 Σpᵢ 当成 0.9，两条路就对不上。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 期望 | Σxᵢpᵢ | 2.00 | 2 |
| 二阶矩 | Σxᵢ²pᵢ | 5.00 | 5 |
| 方差 | E(X²)−E(X)² | 离差平方加权 | 1 |
| 零值离差平方 | (0−μ)² | μ² | 4 |
| 壹值离差平方 | (1−μ)² | 1 | 1 |
| 贰值离差平方 | (2−μ)² | 0 | 0 |
| 叁值离差平方 | (3−μ)² | 1 | 1 |
期望方差先验概率归一，再让两路闭合；分布列为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 概率和是否为 1
- 期望是否按 x 乘 p
- 二阶矩是否按 x² 乘 p
- 两路方差是否相等
- 是否说明展开恒等
- 是否避免把 E(X²) 当 E(X)²
- 结果是否代回分布列闭合
- 是否注明示意分布
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：期望 = 2；二阶矩 = 5；方差 = 1；零值离差平方 = 4；壹值离差平方 = 1；贰值离差平方 = 0；叁值离差平方 = 1。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理四点离散分布的期望方差；二项与超几何分布、条件概率树形图、几何概型与 K² 列联表另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
