题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
反函数存在的充要条件是函数在该区间上一一对应；分段函数要先逐段求值域再取并集。 本讲把「逐段求值域」与「代入端点与分界点回代」两条路径互验。二、逐题精讲
题1
自编示意：f(x) = x+2（x < 0），f(x) = x²（0 ≤ x ≤ 2），f(x) = 4（x > 2）。求 f 在 [−2, 3] 上的值域，并判断该区间上是否存在反函数。解析
第一段 x ∈ [−2,0) 给 f ∈ [0,2)；第二段 x ∈ [0,2] 给 f ∈ [0,4]；第三段恒为 4。 值域并集为 [0, 4]。 因 1.5 在两段里都能取到（如 f(−0.5) 与 f(√1.5) 同值），函数不一一对应，故该区间上不存在反函数。答案 值域 [0, 4]；该区间上不存在反函数。
采分点 逐段值域 3 分；并集 2 分；一一对应判断 3 分；举例 2 分。
易错点 把第二段值域写成 [0,2]（漏了平方），或把第三段的 4 重复计入并集，都会错。
题2
用「逐段求值域再并」与「代入代表点反查原像」两条独立路径重核值域端点，并说明为何 4 不拓宽值域。解析
路径一：三段值域 [0,2)、[0,4]、只含 4 的一段之并为 [0, 4]。 路径二：代 x = −2 得 0，代 x = 2 得 4；第三段 f = 4 = 4 已含在并集内，故上界不变。 f(−0.5) = 1.5 与 f(√1.5) = 1.5 给出同一函数值，印证不一一对应；分段与区间均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：值域下界（第一段左端点）= 0；值域上界（第二段右端点）= 4；重复函数值（两段取到同一值）= 1.5；第一段右端（x 趋近 0 时的右极限）= 2；第三段值（常值段函数值）= 4；上界回代（由值域上界反回平方段）= 4答案 两路均为 [0, 4]；重复值 1.5。
采分点 两条路径各 3 分；原像重复理由 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把 f(−0.5) 算成 −0.5 而漏掉加 2，或把 √1.5 写成 1.5，都会破坏闭合。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 值域下界 | f(−2) | −2+2 | 0 |
| 值域上界 | f(2) | 2² | 4 |
| 重复函数值 | f(−0.5) | f(√1.5) | 1.5 |
| 第一段右端 | f(0−) | 2 | 2 |
| 第三段值 | 常值 4 | 4 | 4 |
| 上界回代 | √4 的平方 | 4 | 4 |
分段函数先逐段再并集，反函数先看一一对应；分段与区间均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否三段分别求值域
- 第二段是否平方
- 并集是否去重
- 两路端点是否相等
- 是否给出同值不同原像
- 是否判断一一对应
- 是否避免把常值段拓宽值域
- 是否注明示意分段
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：值域下界 = 0；值域上界 = 4；重复函数值 = 1.5；第一段右端 = 2；第三段值 = 4；上界回代 = 4。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三段函数在闭区间上的值域与反函数存在性；含参二次函数区间最值、隐零点、构造函数余项与切线过定点另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
