题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
三条棱两两垂直的三棱锥可补成长方体，外接球直径等于长方体体对角线。 本讲把「补形对角线」与「坐标法求球心」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意：三棱锥 O-ABC 中 OA、OB、OC 两两垂直，OA = 3、OB = 4、OC = 12。求补成长方体的体对角线长与外接球半径。解析
体对角线 d = √(3²+4²+12²) = √169 = 13。 外接球直径即 d，故半径 R = d/2 = 6.5。 坐标法：取 O 为原点，A(3,0,0)、B(0,4,0)、C(0,0,12)，球心为 (1.5,2,6)，到 O 距离 √(1.5²+2²+6²) = 6.5，与 R 闭合。答案 体对角线 13；外接球半径 6.5；球心距 6.5。
采分点 补形 3 分；对角线 2 分；半径 3 分；坐标回代 2 分。
易错点 把体对角线当半径，或把 12 写成 5（只记 3-4-5），都会差一倍。
题2
用「补形对角线」与「坐标法求球心」两条独立路径重算 R，并说明球心为何是长方体中心。解析
路径一：√169/2 = 6.5。 路径二：球心取三条棱中点坐标 (1.5,2,6)，到任一顶点距离 √(42.25) = 6.5，等于 R。 长方体中心到八个顶点等距，故也是三棱锥四个顶点的外接球心；棱长均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：对角线平方（三条棱平方和）= 169；体对角线（长方体体对角线）= 13；外接球半径（直径的一半）= 6.5；球心距（坐标法所得半径）= 6.5；球心平方和（球心坐标平方和）= 42.25答案 两路均为 6.5；平方和 169，球心坐标平方和 42.25。
采分点 两条路径各 3 分；中心等距理由 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把球心写成 (3,4,12) 而忘记取半，或把对角线平方写成 3+4+12，都会错。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 对角线平方 | 3²+4²+12² | 9+16+144 | 169 |
| 体对角线 | √169 | 13 | 13 |
| 外接球半径 | d/2 | 6.5 | 6.5 |
| 球心距 | √(1.5²+2²+6²) | √42.25 | 坐标法所得半径 |
| 球心平方和 | 1.5²+2²+6² | 42.25 | 42.25 |
补形法先把三棱锥补成长方体，再让两路闭合；棱长均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否识别三棱两两垂直
- 是否补成长方体
- 直径是否等于体对角线
- 两路 R 是否相等
- 球心是否取各棱中点
- 是否避免把对角线当半径
- 结果是否代回球心距闭合
- 是否注明示意棱长
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：对角线平方 = 169；体对角线 = 13；外接球半径 = 6.5；球心距 = 6.5；球心平方和 = 42.25。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三棱两两垂直的外接球；等体积法求点面距、空间向量法求二面角、三视图与旋转体两法互验另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
