题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
x² − (a+1)x + a < 0 可因式分解为 (x−1)(x−a) < 0，解集取决于 1 与 a 的大小。 本讲把「按根的大小分类」与「代具体 a 值检验区间」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意：解关于 x 的不等式 x² − (a+1)x + a < 0，分别讨论 a < 1、a = 1、a > 1，并用 a = 3 与 a = 0 两处取值检验。解析
(x−1)(x−a) < 0。 a < 1 时解集为 (a, 1)；a = 1 时为 (x−1)² < 0，解集空；a > 1 时解集为 (1, a)。 取 a = 3，解集 (1, 3)，区间长度 2；取 a = 0，解集 (0, 1)，长度 1。答案 a < 1 时 (a,1)；a = 1 时空集；a > 1 时 (1,a)。检验长度 2 与 1。
采分点 因式分解 3 分；三类讨论 4 分；取值检验 3 分。
易错点 把 a = 1 时写成 x 不等于 1，或忘记讨论两根相等，都会漏解。
题2
用「根的大小分类」与「代值展开原式」两条独立路径重算 a = 3 的解集，并说明端点为何取不到。解析
路径一：由 (x−1)(x−3) < 0 得 1 < x < 3，端点为两根，长度 2。 路径二：把 a = 3 代回原式 x²−4x+3 < 0，配方得 (x−2)² < 1，即 1 < x < 3，长度 2，与路径一相同。 严格小于号使两根处等于 0 而不入解集，故端点开；参数与取值均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：a为三时区间长度（两根之差）= 2；a为零时区间长度（两根之差）= 1；配方路径长度（由 (x−2)²<1 得半宽 1）= 2；两根和（韦达定理与直接相加）= 4；两根积（韦达定理与直接相乘）= 3；配方中心（两根平均值）= 2答案 两路均为 (1,3)，长度 2；配方路径长度 2。
采分点 两条路径各 3 分；端点开区间理由 2 分；回代闭合 2 分。
易错点 把严格小于写成小于等于而把端点收进来，或把配方后的界写成 2，都会错。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| a=3 区间长度 | 3−1 | 2 | 2 |
| a=0 区间长度 | 1−0 | 1 | 1 |
| 配方路径长度 | 2×1 | 2 | 2 |
| 两根和 | 1+3 | a+1 | 4 |
| 两根积 | 1×3 | a | 3 |
| 配方中心 | (1+3)/2 | 2 | 2 |
含参不等式先定两根大小，再让分类与代值两路闭合；参数均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否先因式分解
- 是否讨论 a=1 退化
- a<1 与 a>1 是否分开
- 两路解集是否相等
- 端点是否取开区间
- 代值是否回代原式
- 是否避免把两根相加当解集
- 是否注明示意参数
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：a为三时区间长度 = 2；a为零时区间长度 = 1；配方路径长度 = 2；两根和 = 4；两根积 = 3；配方中心 = 2。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理可因式分解的含参二次不等式；含参三次函数分类、分段函数值域、隐零点与二分法区间套另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
