题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
设两圆半径 R、r，圆心距 d：d > R+r 外离、d = R+r 外切、|R−r| < d < R+r 相交、d = |R−r| 内切、d < |R−r| 内含。 本讲把「圆心距判据」与「由两圆方程配方求圆心」两条路径回代。二、逐题精讲
题1
自编示意：圆 C₁ 为 x²+y² = 25，圆 C₂ 为 (x−8)²+y² = 9。求圆心距 d、半径和与半径差，判断位置关系并给出公切线条数。解析
配方得 C₁ 圆心 (0,0)、半径 5；C₂ 圆心 (8,0)、半径 3，故 d = 8。 半径和 R+r = 8，半径差 |R−r| = 2。因 d > R+r，两圆外离，公切线共 4 条。答案 d = 8；半径和 8，半径差 2；两圆外离，公切线 4 条。
采分点 配方 2 分；圆心距 2 分；半径和与差 2 分；判据与条数 4 分。
易错点 把 (x−8)² 的圆心写成 (−8,0)，圆心距会算成 16 而误判内含。
题2
用「圆心距与半径和比较」与「两圆方程联立判别式」两条独立路径重判位置关系，并说明公切线条数如何随判据变化。解析
路径一：d = 8 > 8，故外离，公切线 4 条。 路径二：把两式相减得公共弦方程，代入后所得一元二次方程判别式 小于 0，无实交点且两圆不互含，与外离一致。 判据从外离到内含，公切线条数依次为 4、3、2、1、0；半径与圆心均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：圆一半径（由 x²+y²=25 配方）= 5；圆二半径（由 (x−8)²+y²=9 配方）= 3；圆心距（两圆心距离）= 8；半径和（两半径相加）= 8；半径差（两半径相减取绝对值）= 2；公切线条数（外离时的公切线条数）= 4答案 两路均判为外离；公切线 4 条，联立判别式小于 0。
采分点 两条路径各 3 分；判别式符号 2 分；条数随判据变化 2 分。
易错点 把相减得到的公共弦方程当成一定存在公共弦，或把外切与外离的条数记混，都会错。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 圆一半径 | √25 | 5 | 5 |
| 圆二半径 | √9 | 3 | 3 |
| 圆心距 | 两点距离 | 8 | 8 |
| 半径和 | R+r | 5+3 | 8 |
| 半径差 | |R−r| | 5−3 | 2 |
| 公切线条数 | 外离判据 | 4 | 4 |
位置关系先配方再比 d 与半径和差；方程与圆心均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否先由方程配方求圆心
- 圆心距是否为 8
- 是否同时算半径和与差
- 两路判断是否一致
- 联立是否无实交点
- 公切线条数是否按判据
- 是否避免把外切当外离
- 是否注明示意方程
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：圆一半径 = 5；圆二半径 = 3；圆心距 = 8；半径和 = 8；半径差 = 2；公切线条数 = 4。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理两圆位置关系判据；直线与圆、阿波罗尼斯圆、点到直线距离与圆内接四边形另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
