题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；不使用他人现成题目；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
已知三边求面积，可先用余弦定理求夹角再算 S = (1/2)ab sinC，也可用海伦公式。 本讲把两条路并排回代，顺便检查半周长与根号内的乘积。二、逐题精讲
题1
自编示意三角形三边为 a = 5、b = 6、c = 7。求半周长 p、边 c 所对角的余弦值 cosC 与面积 S。解析
p = (5+6+7)/2 = 9。 由余弦定理 cosC = (a²+b²−c²)/(2ab) = (25+36−49)/60 = 0.2。 故 sinC = √(1−cos²C) = 0.979796，S = (1/2)ab sinC = 14.696938。答案 p = 9；cosC = 0.2；S = 14.696938。
采分点 半周长 2 分；余弦定理 3 分；正弦换算 2 分；面积 3 分。
易错点 把 c 当成夹角 C 的邻边去套余弦定理，或漏开根号，都会破坏结果。
题2
用 (1/2)ab sinC 与海伦公式 √(p(p−a)(p−b)(p−c)) 两条独立路径重算 S，并说明两式为何一致。解析
路径一：(1/2)×5×6×sinC = 14.696938。 路径二：√(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √(9×4×3×2) = √216 = 14.696938，与路径一相同；半周长 p = 9。 两路一致是因为海伦公式可由余弦定理与 sin²C+cos²C=1 代数化简得到；边长均为自编示意。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：半周长（三边和之半）= 9；余弦值（余弦定理）= 0.2；正弦值（由平方关系开方）= 0.979796；面积（两路面积）= 14.696938；海伦公式面积（海伦公式与夹角式）= 14.696938；根号内乘积（半周长四项积）= 216答案 两路均为 14.696938；海伦根号内乘积为 216。
采分点 两条路径各 3 分；根号内乘积 2 分；一致性理由 2 分。
易错点 把半周长 p 写成周长，或把根号内的 p−a 写成 a−p，会得负数或错值。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 半周长 | 三边和除以 2 | 9 | 9 |
| 余弦值 | 余弦定理 | (25+36−49)/60 | 0.2 |
| 正弦值 | 由 1 减余弦平方开方 | 由面积反解 | 0.979796 |
| 面积 | 两边夹角公式 | 海伦公式 | 14.696938 |
| 海伦根号内 | p(p−a)(p−b)(p−c) | 9×4×3×2 | 216 |
三边求面积先定夹角，再让两路闭合；边长均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 半周长是否为三边和之半
- 余弦定理分子是否为 a²+b²−c²
- 正弦是否由平方关系求得
- 两路面积是否相等
- 海伦根号内是否四项相乘
- 是否避免把 p 当周长
- 结果是否代回余弦定理闭合
- 是否注明示意边长
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：半周长 = 9；余弦值 = 0.2；正弦值 = 0.979796；面积 = 14.696938；海伦公式面积 = 14.696938；根号内乘积 = 216。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三边已知的面积两路互验；正弦定理 SSA 两解、外接圆半径互验、中线长与极化恒等式另属相邻板块，不在此重复计数。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
