题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
过曲线外一点作切线，不能把该点当切点；设切点为 (t, f(t))，用点斜式写成「切线过 P」的条件，再解关于 t 的方程，实根个数就是切线条数。 本讲用一组自编示意系数，把「点是否在曲线上」「方程化简」「三实根判定」三步串起来。二、逐题精讲
题1
自编示意 f(x)=x³−3x，点 P(2,0)。先判断 P 是否在曲线上，再列出切线过 P 的条件方程并化简。解析
f(2)=2³−3×2=8−6=2≠0，故 P(2,0) 不在曲线上，不能把 x=2 当切点横坐标。 设切点 (t, t³−3t)，f′(t)=3t²−3，切线为 y−(t³−3t)=(3t²−3)(x−t)。代入 P(2,0)：−(t³−3t)=(3t²−3)(2−t)，展开整理得 2t³−6t²+6=0，即 t³−3t²+3=0。答案 P 不在曲线上；条件方程 t³−3t²+3=0。
采分点 点是否在曲线上 2 分；切线点斜式 3 分；代入化简 3 分；合并同类项 2 分。
易错点 把 P 当切点直接代 f′(2) 会只得到一条假切线；展开时漏掉 −3t³ 项会把三次方程错成二次。
题2
用判别式与变号法两路判定 t³−3t²+3=0 的实根个数，并给出切线条数。解析
令 u=t−1 消去二次项：t³−3t²+3=(u+1)³−3(u+1)²+3=u³−3u+1。对 u³+pu+q 形式，判别式 Δ=−4p³−27q²=−4(−3)³−27×1²=108−27=81>0，故有三个互异实根。 变号法互验：取 u=−2、0、1、2，函数值依次为 −1、1、−1、3，在 (−2,0)、(0,1)、(1,2) 各至少一根，三次方程最多三根，故恰三根。对应三个不同切点，因此过 P 可作 3 条切线。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：f(2)（点 P 横坐标代入函数值）= 2；导数在 2 处（切点方程相关导数值）= 9；判别式（u³−3u+1 的三实根判别式）= 81；判别式与 27 之比（判别式除以 27 的比值）= 3；实根个数（三段变号区间各一根）= 3；平移常数（二次项系数除三次以消去二次项）= 1答案 三实根，故 3 条切线。
采分点 平移消项 2 分；判别式计算 3 分；变号法三段区间 3 分；根数对应切线条数 2 分。
易错点 把 Δ>0 记成「一个实根」是符号记反；只给两段变号区间就断言三根，缺少「最多三根」的上界说明。
三、规律小结与对照表
| 步骤 | 主路径 | 独立路径 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 点是否在曲线上 | f(2)=8−6 | 2 | 不在 |
| 切线斜率 | f′(t)=3t²−3 | 3(t²−1) | 含参数 |
| 化简方程 | t³−3t²+3=0 | u³−3u+1=0 | 三次 |
| 判别式 | −4p³−27q² | 108−27 | 81>0 |
| 实根个数 | Δ>0 | 三段变号 | 3 |
过外一点的切线条数等于切点方程的实根个数；判别式与变号法互验可避免把重根或增根算进去。本讲系数与点坐标均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- 是否先判断 P 不在曲线上
- 切点是否设为 (t, f(t))
- 切线是否用点斜式
- 代入 P 后是否化为三次方程
- 平移消项是否正确
- 判别式符号是否记对
- 变号法是否给出三段区间
- 是否说明三次方程最多三根
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：f(2) = 2；导数在 2 处 = 9；判别式 = 81；判别式与 27 之比 = 3；实根个数 = 3；平移常数 = 1。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理三次函数过外部一点的切线条数；三次函数对称中心、隐零点、恒成立分离参数与导数中的构造函数余项另属相邻板块，不在此重复出同一模型。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
