题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
例题精讲 · 数学导数与解三角形
一、考点定位与做题顺序
定比分点公式 P=(A+λB)/(1+λ) 里的 λ 是 AP:PB，不是 AP:AB；先写清比值，再代入坐标，能避免分子分母错位。 本讲用一组自编示意整数坐标，把坐标、距离与比例系数串成一条可回代的链。二、逐题精讲
题1
自编示意 A(1,2)、B(7,8)，点 P 在线段 AB 上且 AP:PB=2:1。求 λ 与 P 的坐标。解析
由 AP:PB=2:1 得 λ=2。内分点公式 P=(A+λB)/(1+λ)： 横坐标 (1+2×7)/(1+2)=15/3=5；纵坐标 (2+2×8)/(1+2)=18/3=6，故 P(5,6)。 校验：P 落在 A、B 之间，且 5−1=4、7−5=2，横向位移比 4:2=2:1，与题给一致。答案 λ=2，P(5,6)。
采分点 λ 判定 2 分；公式列写 3 分；两个坐标各 2 分；位移比校验 1 分。
易错点 把 λ 误取成 2/3（AP:AB）会得 (5,6) 以外的点；把公式写成 (λA+B)/(1+λ) 会把坐标整体偏向 A。
题2
求 AB 长度与 AP 长度，用距离公式与比例系数两路互验。解析
AB=√((7−1)²+(8−2)²)=√(36+36)=√72=8.485281 m（示意长度单位）。 路径一按坐标：AP=√((5−1)²+(6−2)²)=√32=5.656854；路径二按比例系数：AP=λ/(1+λ)·AB=2/3×8.485281=5.656854。两路闭合，说明 P 确为 2:1 内分点。 数值回代核验（按题面原始参数逐项独立重算，每项另以一条独立路径互验）：分比（AP:PB 化为整数比）= 2；横坐标（按 A+λB 除以 1+λ）= 5；纵坐标（按 A+λB 除以 1+λ）= 6；AB 长度（两点间距离公式）= 8.485281；AP 长度（比例系数乘 AB）= 5.656854；内分系数（PB 占 AB 的比例）= 0.333333答案 AB=8.485281，AP=5.656854，两路一致。
采分点 AB 3 分；坐标路径 AP 2 分；比例路径 AP 3 分；闭合说明 2 分。
易错点 把 λ/(1+λ) 写成 1/(1+λ)=1/3 会得 2.828427，恰好是 PB 的长度，属于把分段系数张冠李戴。
三、规律小结与对照表
| 量 | 主路径 | 独立路径 | 数值 |
|---|---|---|---|
| λ | AP:PB | 6/3 | 2 |
| P 横坐标 | (1+2×7)/3 | (1+14)/3 | 5 |
| P 纵坐标 | (2+2×8)/3 | (2+16)/3 | 6 |
| AB | √((7−1)²+(8−2)²) | hypot(6,6) | 8.485281 |
| AP | 2/3·AB | √32 | 5.656854 |
| 内分系数 | 1/(1+λ) | 1/3 | 0.333333 |
定比分点先写清 λ 是「部分比部分」而非「部分比整体」；坐标与长度两路回代能立刻发现公式写反。本讲坐标与比值均为自编示意，不对应任何真题数据。
四、自测清单
- λ 是否按 AP:PB 取值
- 公式分子是否为 A+λB
- 两个坐标是否分别代入
- 是否用位移比校验内分
- AB 是否按两点距离公式
- 两路 AP 是否数值一致
- 内分系数是否为 1/(1+λ)
- 是否避免把 PB 当 AP
五、数值回代明细
按题面原始参数逐项重算（构造时另以一条独立路径互验一致）：分比 = 2；横坐标 = 5；纵坐标 = 6；AB 长度 = 8.485281；AP 长度 = 5.656854；内分系数 = 0.333333。以上数值与本篇解析、答案栏、规律表逐处对应，示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理线段内分点与长度回代；角平分线与中线双线、极化恒等式、圆锥曲线定比分点的参数化另属相邻板块，不在此重复出同一模型。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
